Um número irracional é um número real que não pode ser reduzido a qualquer relação entre um número inteiro p e um número natural q . A união do conjunto de números irracionais e o conjunto de números racionais forma o conjunto de números reais. Em expressões matemáticas, os irracionais desconhecidos ou não especificados são normalmente representados por u até z. Os números irracionais são principalmente de interesse para os teóricos. A matemática abstrata tem aplicações potencialmente abrangentes em comunicações e informática, especialmente em criptografia de dados e segurança.
Exemplos de números irracionais são 2 1/2 (a raiz quadrada de 2), 3 1/3 (a raiz cúbica de 3), a razão circular pi, e a base logarítmica natural e . As quantidades 2 1/2 e 3 1/3 são exemplos de números algébricos. Pi e e são exemplos de irracionais especiais conhecidos como números transcendentais. A expansão decimal de um número irracional é sempre não interminável (nunca termina) e não repetitiva (os dígitos não apresentam padrão repetitivo).
Se x e z são irracionais tais que x < z, então sempre existe um y irracional tal que x < y < z. O conjunto de irracionais é "denso" como o conjunto Q de racionais. Mas teoricamente, o conjunto de irracionais é "mais denso". Ao contrário de Q , o conjunto de irracionais não é "mais denso". Há mais decimais não intermináveis, não repetitivos do que é possível listar, mesmo por implicação. Para provar isto, suponha que existe uma lista implícita de todos os números decimais não intermináveis e não repetitivos entre 0 e 1. Cada um desses números consiste de um zero seguido de um ponto decimal, seguido de uma sequência infinita de dígitos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Suppose the elements of the list are denoted x 1, x 2 , x 3, ... and the digits in the numbers are denoted a ii. The list can be written like this:
x 1 = 0. a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 ...
x 2 = 0. a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 ...
x 3 = 0. a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 36 ...
x 4 = 0. a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 ...
x 5 = 0. a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 a 56 ...
x 6 = 0. a 61 a 62 a 63 a 64 a 65 a 66 ...
...
Even though we don't know the actual values of any of the digits, it is easy to imagine a number between 0 and 1 that can't be in this list. Think of a number y of the following form:
y = 0. b 11 b 22 b 33 b 44 b 55 b 66 ...
such that no b ii in y is equal to the corresponding a ii in the list. O número resultante y é não-terminante e não-repetitivo, está entre 0 e 1, mas não é igual a nenhum x i na lista, porque há sempre pelo menos um dígito que não corresponde.
A não-denumerabilidade do conjunto de números irracionais tem implicações de longo alcance. Talvez o mais bizarro seja a noção de que "nem todos os infinitos são criados iguais". Embora o conjunto de racionais e o conjunto de irracionais sejam ambos infinitos, o conjunto de irracionais é maior de uma forma demonstrável.