Um número real é qualquer elemento do conjunto R, que é a união do conjunto de números racionais e do conjunto de números irracionais. Em expressões matemáticas, números reais desconhecidos ou não especificados são normalmente representados por letras minúsculas em itálico u até z. O conjunto R dá origem a outros conjuntos, como o conjunto de números imaginários e o conjunto de números complexos. A ideia de um número real (e o que o torna "real") é principalmente de interesse para os teóricos. A matemática abstrata tem aplicações potencialmente abrangentes em comunicações e informática, especialmente em criptografia de dados e segurança.
Se x e z são números reais como x < z, então sempre existe um número real y como x < y < z. O conjunto de reais é "denso" no mesmo sentido que o conjunto de irracionais. Ambos os conjuntos são inumeráveis. Existem mais números reais do que é possível listar, mesmo por implicação.
O conjunto R é às vezes chamado de contínuo porque é intuitivo pensar nos elementos de R como correspondendo um-a-um com os pontos numa linha geométrica. Esta noção, primeiramente proposta por Georg Cantor que também notou a diferença entre as cardinalidades (tamanhos) dos conjuntos de números racionais e irracionais, é chamada de Continuum Hypothesis. Esta hipótese pode ser afirmada ou negada sem causar contradições na matemática teórica.
Ver uma introdução aos números e subconjuntos reais: