Um número transcendental é um número real que não é a solução de nenhuma equação polinomial de uma única variável cujos coeficientes são todos inteiros . Todos os números transcendentais são números irracionais . Mas o inverso não é verdade; há alguns números irracionais que não são transcendentais.
Exemplos de números transcendentais incluem pi , a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro em um plano, e e , a base do logaritmo natural . O caso de pi tem um significado histórico. O fato de pi ser transcendental significa que é impossível desenhar à perfeição, usando uma bússola e uma reta e seguindo as antigas regras gregas para construções geométricas, um quadrado com a mesma área que um determinado círculo. Este antigo puzzle, conhecido como quadrado do círculo, foi, durante séculos, um dos desafios mais desconcertantes da geometria. Foram concebidos esquemas que fornecem aproximações surpreendentemente próximas à quadratura do círculo. Mas na matemática teórica (ao contrário da física e da engenharia), as aproximações nunca são suficientemente boas; ou uma solução, esquema ou método é válido, ou então não é.
Pode ser difícil, e talvez impossível, determinar se um certo número irracional é ou não transcendental. Alguns números desafiam a classificação (algébrica, irracional ou transcendental) até os dias de hoje. Dois exemplos são o produto de pi e e (chame esta quantidade de torta Pie ) e a soma de pi e e (chame esta torta S ). Foi provado que pi e e são ambos transcendentais. Foi também demonstrado que pelo menos uma das duas quantidades de torta Pie e torta S são transcendentais. Mas a partir deste escrito, ninguém provou rigorosamente que a torta S é transcendental, e ninguém provou rigorosamente que a torta S é transcendental.